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Produto Cartesiano: interpretação de gráfico

A representação do produto cartesiano também pode ser feita por meio de gráficos. No artigo a seguir, iremos apresentar o conceito de uma função e entender como interpretá-la, analisá-la e construí-la graficamente. Esse é um tema essencial para quem está se preparando para o Enem e vestibulares. 

Produto Cartesiano: tudo o que você precisa saber

Em nosso dia a dia, há diversas situações em que é possível identificar grandezas que têm relação entre si. Por exemplo, quando uma pessoa abastece seu carro em um posto de combustível. A relação existente, nesse caso, se dá entre “quantidade de combustível” e “valor a pagar”.

Várias dessas relações podem ser descritas através de um conceito matemático chamado função que tem representação gráfica em um Plano Cartesiano. Logo, saber fazer a interpretação dos gráficos é fundamental para fazer esse tipo de relação no dia a dia. 

O que é o Plano Cartesiano?

Basicamente, o plano cartesiano é um objeto matemático constituído por uma malha quadriculada. Cada ponto presente na malha está associado a dois números reais que indicam a posição desse ponto. Esses números são as coordenadas desse ponto. 

As coordenadas definem a localização geográfica do ponto em relação a duas retas reais perpendiculares (em ângulo de 90°) chamadas de eixos. Há duas retas sendo elas:

• Eixo das abscissas (eixo do x);
• Eixo das ordenadas (eixo do y).

Cada ponto do plano cartesiano é representado por um par ordenado (x, y). Os eixos x e y são perpendiculares entre si e se cruzam na origem. O eixo das abscissas é o eixo horizontal enquanto o eixo das ordenadas é o eixo vertical. 

Como se faz um plano cartesiano?

Como citamos anteriormente, o plano cartesiano é constituído por duas retas sendo o ângulo entre elas equivalente a 90°. Essas retas recebem o nome de eixos (eixo das abscissas e eixo das ordenadas). 

O plano cartesiano é dividido em quatro regiões pelas retas perpendiculares, essas regiões recebem o nome de quadrantes. O primeiro e o quarto quadrantes ficam à direita do eixo, enquanto o segundo e o terceiro quadrantes ficam à esquerda. 

Relações entre os valores dos eixos x (abscissas) e y (ordenadas):

• O valor da abscissa é sempre menor do que o valor da ordenada, no 2° quadrante, isto é, x < y. 
• O valor da abscissa no quarto quadrante é sempre maior do que o valor da ordenada, logo, x > y.
• Já nos quadrantes ímpares (1° e 3°) não é possível afirmar relação alguma, pois as abcissas podem ser maiores, menores ou iguais às ordenadas. 

Pontos do plano cartesiano

No plano cartesiano, cada ponto P é indicado por um par ordenado de números entre parênteses, (a,b). Esses números são, respectivamente, a abscissa e a ordenada.

Logo, esse par ordenado representa as coordenadas do ponto no plano. O ponto de origem do plano cartesiano, equivalente a zero, é o ponto “O”, ele está no cruzamento dos eixos. 

Para que serve o plano cartesiano?

O plano cartesiano permite representar pontos ou objetos através do uso de coordenadas sem que seja preciso construir um desenho. Foi a partir do desenvolvimento dessa concepção que diversos problemas matemáticos puderam ser resolvidos.

A partir dessa definição se tornou possível calcular a distância entre dois pontos ou mesmo calcular a área de um triângulo. Essa é a base da geometria analítica, que por sua vez, constitui a base para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.

O que é o produto cartesiano?

Como explicamos acima, um par ordenado é formado pelos valores de x e y, as coordenadas que definem a localização do ponto no plano cartesiano. Nesse contexto, o produto cartesiano nada mais é do que a multiplicação entre pares ordenados de conjuntos distintos.

Para ficar mais claro apresentaremos um exemplo em que temos:

• Conjunto A formado por: {1, 2, 3, 4};
• Conjunto B formado por: {2, 3}. 

O produto cartesiano entre os conjuntos será o resultado de A x B. Devemos considerar que nos pares ordenados, formados pelo produto, a ordem será essa: 

• Os elementos de A ficarão na posição de abscissa;
• Os elementos de B ficarão na posição ordenada. 

Assim teremos que A x B:

{(1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3)}

Podemos ainda, fazer B x A para verificar se os pares formados são diferentes, chegando a conclusão de que A x B B x A. Confira abaixo:

{(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)}

Temos a formação de 8 pares ordenados nas duas multiplicações. Isso acontece porque o conjunto A possui 4 elementos enquanto o conjunto B possui dois elementos. Dessa forma, a multiplicação realizada fica da seguinte maneira:

n(A x B) = n(A) * n(B)

n(A x B) = 4 * 2

n(A x B) = 8

Pares ordenados

A seguir estabeleceremos os pares ordenados de acordo com as operações: A2 e B2. Sendo:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {2, 3}

A2 = A x A

{(1, 1); (2, 1); (3, 1); (4, 1); (1, 2); (2, 2); (3, 2); (4, 2); (1, 3); (2, 3); (3, 3); (4, 3); (1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4)}

B2 = B x B

{(2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)}

René Descartes: o criador do plano cartesiano

Foi o filósofo e físico René Descartes quem, em 1637, teve a ideia de fazer a relação entre álgebra e geometria. Assim nasceu a chamada geometria analítica que permite fazer a descrição da geometria usando uma quantidade menor de diagramas e desenhos.

Descartes entrou para a história como o inventor da geometria analítica. Porém, Pierre de Fermat já conhecia e utilizava conceitos da geometria analítica, ou seja, o plano cartesiano. 

Gostou de saber mais sobre produto cartesiano e interpretação do gráfico? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!