Blog

Conceito de Função: saiba o que é, quais são, e os tipos de exercícios

A função consiste em uma relação estabelecida por um conjunto não vazio com outro conjunto que também é não vazio. Cada elemento do primeiro conjunto se relaciona com um único elemento do outro conjunto. 

O que é função?

A função é uma aplicação em que se relacionam elementos de dois conjuntos não vazios. Para ficar mais fácil de entender imagine dois conjuntos não vazios, A e B. Cada elemento de A está relacionado por uma função f com um único elemento de B. 

Uma relação entre dois conjuntos não será uma função quando:

• Um elemento do conjunto A se relacionar com dois elementos diferentes de B; 
• Também não será se sobrarem elementos do conjunto A sem relação com elementos de B. 

Conjuntos 

f: A → B

Nesse exemplo:

• O conjunto A (do qual partem as relações) recebe o nome de domínio da função.
• O conjunto B (para o qual vão as relações) recebe o nome de contradomínio. 
• O subconjunto do contradomínio de uma função (aquele formado por elementos relacionados com elementos do conjunto) é a imagem da função. 

Tipos de funções 

Função sobrejetiva (ou sobrejetora)

Aquela função na qual o conjunto imagem coincide com o contradomínio. Isso significa que todos os elementos do contradomínio são imagens. 

Função injetiva (ou injetora)

Quando elementos distintos do domínio têm imagens distintas no contradomínio. As imagens iguais são obtidas por meio de elementos iguais do domínio. A condição é que elementos distintos do domínio se relacionam com elementos distintos do contradomínio. Não tem problema sobrarem elementos no contradomínio. 

Função bijetora (ou bijetora)

Quando a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 

Função composta

Esse tipo de função está relacionada com a ideia de atalho. Imagine que existem três conjuntos não vazios (A, B e C) e duas funções f e g. A função f leva elementos x do conjunto A para elementos y = f(x) do conjunto B. Por sua vez, a função g leva os elementos y = f(x) para elementos z do conjunto C. 

Exemplo: f (x) = x2 e a função g(x) = x + 1. Iremos determinar as funções compostas (f o g)(x) e (g o f)(x).

A função f o g é dada pela função g aplicada na função f, então: 

(f o g)(x) = f(g(x))

Para a determinação desta função composta precisamos considerar a função f tendo a função g no lugar da variável x. Fica assim: 

x2

(x+1)2

(f o g)(x) = f(g(x)) = x2 + 2x + 1

Da mesma forma, para a determinação da função composta (g o f)(x), deveremos aplicar a função f na função g. A função f será usada no lugar da variável: 

(x + 1)

x2 + 1

Então, a função é composta (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 1.

Função par

Leve em consideração uma função f: A → ℝ, em que A é um subconjunto dos reais não vazio. A função f será par apenas para todo x real. Confira o exemplo:

Usaremos para esse exemplo a função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x2.

Para qualquer valor de x real que estiver elevado ao quadrado o resultado será sempre positivo. Isso significa que: 

f(x) = x2

e

f(–x) = (–x)2 = x2

Sendo assim, f(x) = f(–x) para qualquer valor de x real, isso faz com que a função f seja par.

Função ímpar

Começamos considerando uma função f: A → ℝ, na qual A é um subconjunto dos reais não vazio. A função f será ímpar apenas para todo x real. Confira o exemplo: 

Usaremos como exemplo a função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x3.

Para qualquer valor de x podemos escrever que (–x)3 = –x3. Veja abaixo exemplos: 

(–2)3 = –23 = –8

(–3)3 = –33 = –27

Dessa forma podemos dizer que: 

f(–x) = (–x)3 = –x3

f(–x) = (–x)3 = –f(x)

Sendo assim, para qualquer x real f(–x) = –f(x), a função f(x) = x3 é ímpar.

Função crescente

Para que uma função f seja crescente em um intervalo é necessário que os elementos do domínio cresçam conforme suas imagens cresçam também. 

Função decrescente

Uma função f é decrescente em um intervalo apenas se os elementos do seu domínio crescerem conforme suas imagens decresçam. 

Função constante

Uma função é constante quando para qualquer valor do domínio temos o mesmo valor da imagem. 

Função afim (ou polinomial do primeiro grau)

Esse tipo de função é escrita da seguinte forma: 

f(x) = ax + b

Nessa função, a e b são números reais sendo que a é diferente de zero e tem gráfico em reta. Esse tipo de função possui domínio real assim como o seu contradomínio. 

Função quadrática (ou função polinomial de segundo grau)

Essa função é dada por um polinômio de grau dois e fica da seguinte forma: 

f(x) = ax2 + bx + c

Nessa função a, b e c são números reais diferentes de zero. O seu gráfico é uma parábola. Essa função possui domínio e contradomínio reais. 

Função modular

Uma função modular que possui variável x se encontra dentro do módulo. Algebricamente ela é expressa da seguinte forma: 

f(x) = |x|

Esse tipo de função também apresenta domínio e contradomínio reais. Podemos calcular o valor absoluto de qualquer número real. 

Função exponencial

Função que tem a variável x em seu expoente. Seu domínio é real, é representada algebricamente assim: 

f(x) = ax

Nesse caso, a é um número real maior que zero. 

Função logarítmica

A variável dessa função está no logaritmando. O domínio é formado por números reais maiores que zero. 

Funções trigonométricas

Apresentam a variável x relacionada com as razões trigonométricas. 

Função raiz

Função cuja variável está dentro da raiz. O domínio da função passa a ser apenas de números reais positivos se o índice da raiz for par. 

Gostou de saber mais sobre função? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!