Conjuntos: saiba os principais tópicos sobre o assunto
A área de conjuntos é uma das principais da Matemática. Ela compreende o estudo dos números: naturais; inteiros; racionais; irracionais; reais e complexos. No artigo a seguir apresentaremos os conceitos mais importantes com detalhes.
Conheça os principais tópicos sobre conjuntos
A seguir você poderá saber mais sobre os principais tópicos estudados pela área de conjuntos na Matemática.
Conjunto dos números naturais
Quando as primeiras civilizações se desenvolveram surgiu a necessidade de aprimorar a agricultura e o comércio.
Como consequência, os números passaram a ser utilizados para representar quantidades.
O primeiro conjunto surgiu naturalmente e daí vem seu nome.
O conjunto natural é usado para representar quantidades.
É representado pelo símbolo ℕ.
É escrito na forma de sequência: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}.
Esse conjunto é infinito e fechado para operações de adição e multiplicação.
Então sempre que somamos ou multiplicamos números naturais temos como resposta um número natural.
Mas, o conjunto não é fechado para operações de subtração e divisão. Como: 5 – 6 = –1 e 3 ÷ 2 = 0,5.
-1 e 0,5 não são números naturais e isso justifica a criação e o estudo de novos conjuntos numéricos.
Ao adicionar asterisco (*) ao símbolo do conjunto dos números naturais se deve retirar o número zero da lista. ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}.
Conjunto dos números inteiros
Esse conjunto surgiu pela necessidade de fazer a operação de subtração sem restrições.
Quando subtraímos um número menor de outro maior, a resposta não faz parte do conjunto dos números naturais.
Esse conjunto é representado por uma sequência numérica infinita.
É denotado pelo símbolo ℤ.
ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}.
Nesse caso, também ao se colocar um asterisco no símbolo ℤ, se remove o zero do conjunto.
ℤ* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}.
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
O conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.
Conjunto dos números racionais
Esse conjunto é representado pelo símbolo ℚ.
Não é representado por uma sequência numérica.
O conjunto é formado por todos os números que podem ser representados na forma de fração.
Os elementos do conjunto dos números racionais são representados da seguinte forma: ℚ = {ab │a, b ℤ com b 0}.
Todo número inteiro pode ser representado por uma fração. Logo, o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.
O conjunto dos números é subconjunto dos racionais.
Número com representação infinita, como as dízimas periódicas também podem ser representados por fração. Então, também são racionais.
Conjunto dos números irracionais
Números que não podem ser escritos na forma de fração não pertencem ao conjunto dos números racionais.
Esses números que não fazem parte do conjunto dos racionais são chamados de irracionais.
Os números irracionais se caracterizam pela infinidade da parte decimale pela não periodicidade. Logo, nenhum número da parte decimal se repete.
Um exemplo de número irracionais são as raízes quadradas de números que não quadrados perfeitos como: 2, 3, 6, 5.
Também são exemplos de número irracionais as constantes oriundas de razões especiais como o número = 3,14159265.
Conjunto dos números reais
Esse conjunto é representado pelo símbolo ℝ.
É constituído pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
O conjunto dos racionais é a junção dos conjuntos naturais e inteiros.
Quando os números reais são dispostos em uma reta, temos o número zero como a origem da reta.
A sua direita estarão os números positivos e a sua esquerda estarão os números negativos.
O eixo é real e assim podemos dizer que existem infinitos números entre dois números. Esse eixo é infinito tanto na direção positiva quanto na negativa.
Conjunto dos números complexos
Esse é o mais recente.
Também surgiu para atender a necessidade de fazer uma operação que não pode ser desenvolvida somente com o conjunto dos reais.
Confira o exemplo da equação abaixo:
x2 + 1 = 0
x2 = –1
A partir desse exemplo, precisamos encontrar um número que quando elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Porém, sabemos que qualquer número elevado ao quadrado sempre é positivo. Então esse cálculo não possui uma solução real.
Os números complexos foram criados para atender a esses casos. Assim, temos um número imaginário denotado por i que tem o seguinte valor:
i2 = -1
i = -1
Dessa forma, a equação acima agora possui solução:
x2 = -1
x = -1
x’ = i
x’’ = -i
Intervalos reais
Há casos em que não utilizamos todo o eixo real, isto é, usamos somente partes dele. Isso é o que se chama de intervalos. Os intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Confira algumas notações para esses subconjuntos.
Intervalo fechado – sem incluir os extremos. Temos: a < x < b, em que x são todos os números reais contidos nesse intervalo.
Intervalo fechado – incluindo os extremos. Temos: a ≤ x ≤ b.
Intervalo fechado – incluindo um dos extremos. Temos: a ≤ x < b.
Intervalo aberto – sem incluir o extremo. Temos: x < b.
Intervalo aberto – incluindo o extremo. Temos: x ≥ a.
Intervalo aberto – outro caso possível é aquele formado por números maiores e menores do que os fixados na reta real. Temos: x ≤ a ou x > b.
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