Blog

O que são e como são usados os produtos notáveis?

Você provavelmente já ouviu falar sobre produtos notáveis, mas talvez não saiba exatamente a que esse conceito se refere. No artigo a seguir iremos explicar com mais detalhes essas expressões algébricas e como são usadas. Boa leitura!

O que são produtos notáveis?

Os produtos notáveis consistem em expressões algébricas que contemplam padrões de multiplicação entre os termos. Em outras palavras, eles têm um esquema de organização peculiar das fórmulas de Matemática construído conforme certas regras. 

Em linhas gerais, os produtos notáveis possuem polinômios como fatores. Então, por exemplo, o quadrado da soma (a + b) pode ser fatorado em (a + b) x (a + b). Entender as regras que regem os produtos notáveis é essencial para resolver algumas questões matemáticas.

O que são expressões algébricas?

Para compreender o conceito de produtos notáveis é essencial saber o que são expressões algébricas. Basicamente, uma expressão algébrica consiste em uma fórmula matemática constituída por variáveis (letras) e números.

Algebricamente, essa expressão apresenta um problema que precisa ser solucionado segundo as regras. Confira abaixo exemplos de expressões algébricas:

• 2x + 6 = 8
• -z + 4y – x = 15
• x2 + y = 8

Nesses exemplos fica evidente que em uma expressão algébrica há elementos conhecidos e outros não conhecidos. Os elementos desconhecidos são as incógnitas, são os valores deles que precisamos descobrir para resolver a equação. 

O que são polinômios?

Outro conceito importante de relembrarmos é o dos polinômios. Um polinômio consiste em uma expressão qualquer do tipo 2x + 5 que seja formada por variáveis (letras) e números. Do ponto de vista técnico, o polinômio é formado pela adição e/ou subtração entre monômios. 

O que são monômios?

Um monômio consiste em um termo algébrico com uma parte literal e um coeficiente numérico, isto é, letras e números. Por exemplo, no monômio 3x temos:

• 3 como o coeficiente;
• 1 como a parte literal.

Confira outros exemplos de monômio:

• x2y2z2
• 7ab2
• 9xy. 

Resumidamente, um monômio nada mais é do que um polinômio formado por um único termo. Quando um polinômio é formado por dois termos ou dois monômios recebe o nome de binômios. Se tiver três será um trinômio e assim sucessivamente. 

Decomposição em fatores

Os produtos notáveis sempre envolveram uma decomposição em fatores regulares, normalmente, binômios. A expressão a2 – b2, por exemplo, pode ser fatorada em (a + b) × (a – b).

Conheça os 5 casos de produtos notáveis

Há cinco casos básicos de produtos notáveis. É interessante aprender sobre cada um deles para tornar mais simples o cálculo de equações com maior complexidade. 

1° caso de produtos notáveis: quadrado da soma entre dois termos

Nesse caso, temos uma expressão em que a soma de dois termos, a e b, está elevada à segunda potência. Confira abaixo:

(a + b)2 = (a + b) × (a + b)

Quando for este caso, a distribuição do produto notável vai resultar na seguinte expressão: 

(a + b) × (a + b) = a2 + 2ab + b2

2º caso de produtos notáveis: quadrado da diferença entre dois termos

Esse caso é igual ao primeiro, mas ao invés da soma entre dois termos, a e b, teremos a diferença entre os dois, elevada à segunda potência. Confira a seguir: 

(a – b)2 = (a – b) × (a – b)

O resultado da distribuição será quase igual, porém, com uma pequena diferença, confira: 

(a – b) × (a – b) = a2 – 2ab + b2

3° caso de produtos notáveis: produto da soma entre dois termos pela diferença entre dois termos

Trata-se de um caso simples uma vez que parte do produto entre os termos irá se anular, confira abaixo: 

 (a + b) × (a – b)

= a2 – ab + ab – b2

= a2 – b2

Essa distribuição terá como resultado a expressão simplificada a2 – b2.

4° caso de produtos notáveis: cubo da soma entre dois termos

A partir daqui fica um pouco mais complexo, ainda fácil de compreender. Basta saber de que maneira uma expressão algébrica pode ser decomposta em fatores de multiplicação. Elevando uma soma de termos à terceira potência teremos: 

(a + b)3

= (a + b) × (a + b) × (a + b)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Então, sempre que você se deparar com a expressão (a + b)3 poderá reduzi-la para: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, para simplificar o cálculo.

5º caso de produtos notáveis: cubo da diferença entre dois termos

Consiste num caso parecido com o anterior, confira: 

(a – b)3

= (a – b) × (a – b) × (a – b)

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Mais uma vez a expressão reduzida pode ser usada para simplificar os cálculos algébricos. 

Como os produtos notáveis são usados?

De maneira geral, os produtos notáveis são utilizados para simplificar os cálculos. Confira a equação abaixo: 

x2 – 8x + 16 = 0

Analisando a distribuição da expressão à esquerda perceberemos que se trata de um produto notável do tipo (a + b) × (a – b). Então se encaixa no segundo caso que apresentamos. Para resolver podemos fazer o seguinte: 

x2 – 8x + 16 = 0

(x – 4) × (x – 4) = 0

Uma multiplicação apenas resulta em zero quando dos seus termos é zero. E se os dois termos são iguais então os dois são zero, logo: 

x – 4 = 0

x = 4

Viu como os produtos notáveis podem ajudar a facilitar os cálculos matemáticos? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!