Bastante utilizada na Matemática, a Lei dos Cossenos tem como objetivo calcular a medida de um lado ou de um ângulo desconhecido de qualquer triângulo, desde que se conheçam suas outras medidas. No artigo a seguir iremos explicar com mais detalhes a que se refere essa lei e como aplicá-la.
O Teorema dos Cossenos diz que em qualquer triângulo o quadrado de um dos seus lados é equivalente à soma dos quadrados dos outros dois, subtraindo o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Seguindo essa linha de raciocínio, temos então as seguintes relações:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos α
b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cos β
c2 = a2 + b2 – 2.a.b. cos φ
Para que seja mais fácil compreender a Lei dos Cossenos iremos apresentar exemplos a seguir.
Exemplo 1 – Neste exemplo temos um triângulo cujos lados medem 20 cm e 12 cm. O ângulo formado entre os dois lados é de 120°. Nesse exemplo iremos calcular a medida do terceiro lado através da Lei dos Cossenos.
Resolução
O cálculo do terceiro lado do triângulo será feito através da Lei dos Cossenos. Logo, iremos considerar que:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = – 0,5 (esse valor pode ser consultado em tabelas trigonométricas).
Colocando os valores na fórmula:
a2 = 202 + 122 – 2. 20. 12 . (-0,5)
a2 = 400 + 144 + 240
a2 = 784
a = √784
a = 28 cm
Então a resolução do primeiro exemplo nos levou a conclusão de que o terceiro lado mede 28 cm.
Exemplo 2 – Neste exemplo o objetivo é determinar a medida do lado AC, assim como a medida do ângulo do vértice em A da figura abaixo:
Resolução
O primeiro passo é determinar o AC = b
b2 = 82 + 102 – 2. 8. 10 . cos 50°
b2 = 164 – 160. cos 50°
b2 = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82
O segundo passo é determinar qual é a medida do ângulo de acordo com a Lei dos Cossenos:
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82 . cos Â
64 = 161,1524 – 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º
Importante
Os valores dos ângulos do cosseno foram consultados na Tabela Trigonométrica. Essa tabela possui os valores dos ângulos de 1° a 90° para cada uma das funções trigonométricas, ou seja: seno, cosseno e tangente.
É importante dizer que a Lei dos Cossenos pode ser aplicada a qualquer triângulo, independentemente de ser um obtusângulo (que possui um ângulo interno superior a 90°), um acutângulo (cujos ângulos internos são menores do que 90°) ou retângulo (que tem ângulo interno igual a 90°).
Para quem ficou com dúvidas sobre a aplicação da Lei dos Cossenos em triângulos retângulos iremos explicar melhor abaixo. Neste exemplo aplicaremos a lei para o lado oposto ao ângulo de 90°, como aparece abaixo:
a2 = b2 + c2 – 2. b. c. cos 90º
Como o cos 90° é igual a 0 então ficamos com a expressão da seguinte forma:
a2 = b2 + c2
Essa expressão é igual ao Teorema de Pitágoras. Dessa forma, podemos dizer que esse teorema é um caso peculiar dentro da Lei dos Cossenos.
Basicamente, a Lei dos Cossenos é empregada quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado entre eles e se deseja descobrir o terceiro lado. É possível ainda utilizar essa lei nos casos em que se conhece os três lados do triângulo e se quer saber um dos seus ângulos. Nos casos em que conhecemos dois ângulos e um lado de um triângulo e desejamos saber o outro lado, é mais interessante utilizar a Lei dos Senos.
Seno e cosseno de um ângulo são razões trigonométricas em um triângulo retângulo. O lado oposto ao ângulo reto de 90° é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos.
O cosseno é a razão entre a medida do cateto adjacente e a hipotenusa, ficando assim:
Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa
O seno é a razão entre a medida do cateto oposto e a hipotenusa, fica dessa forma:
Seno = cateto oposto / hipotenusa
Com essas definições fica mais fácil saber quando usar a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos.
A tangente é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo agudo de um triângulo retângulo. Dessa forma, fica assim:
Tangente = cateto oposto / cateto adjacente
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