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Inequação modular: veja como resolver

A inequação modular nada mais é do que uma expressão matemática em que há uma desigualdade (<, ≤, >, ≥). No artigo a seguir, iremos apresentar o conceito com mais detalhes, assim como explicar os demais elementos que compõem a inequação.

Inequação modular

Para entender o que é uma inequação modular é necessário compreender cada um dos seus termos, ou seja, o que é inequação e módulo de um número. Uma inequação modular é uma expressão matemática envolvendo uma desigualdade (<, ≤, >, ≥). 

O que é módulo de um número?

O módulo de um número é a distância dele até zero, ou seja, é sempre um número positivo. O módulo de um número n é representado da seguinte forma: |n|. 

O que é uma inequação modular?

A inequação modular é uma expressão em que há dois elementos, isto é, o módulo e a desigualdade. Quando estamos diante de uma inequação modular temos o objetivo de encontrar o seu conjunto de soluções. Uma inequação será classificada como modular quando é uma expressão que tem uma ou mais incógnitas dentro do seu módulo. 

Confira os exemplos:

• |x| > 2
• |x+1| < -5
• 6 ≤ |2 – x|

Observe que em todas as expressões há um símbolo de desigualdade e um símbolo do módulo. A inequação possui sempre um conjunto de soluções. Dessa forma, para solucionar a inequação modular é necessário encontrar esse conjunto de soluções. 

Como resolver uma inequação modular?

Para a resolução do conjunto de soluções de uma inequação modular é necessário aplicar a definição de módulo. Com essa definição clara é possível encontrar o conjunto de soluções das inequações com facilidade. É interessante observar que:

• |x| = x → se x > 0
• |x| = -x → se x < 0

Exemplo 1

Vamos iniciar com um caso simples, precisamos encontrar a solução da inequação |x| > 3. Iremos separar dois casos para que |x| seja maior que 3: 

1º caso: x > 0

No caso de x ser positivo, |x| = x, queremos que x seja maior que 3. 

x > 3

Observe que qualquer valor maior que 3 é satisfatório para a equação. Por exemplo: x = 4 |4| > 3. Dessa forma, temos um conjunto de soluções com restrição de que x > 3.

2º caso: x < 0

Quando x é negativo, -x > 3. Porém, multiplicando por -1, temos que:

-x > 3 (-1)

x < -3

Logo, o conjunto de solução são valores menores que -3. Observe, por exemplo, que -4 é solução uma vez que |-4| = 4, logo, |-4| > 3.

A solução da equação então é: 

S = {x Є R | x < -3 ou x > 3}

Exemplo 2

Apresentaremos a seguir um exemplo um pouco mais difícil de solução de inequação modular: 

|x + 2| ≤ 7

1º caso: x + 2 > 0

se x + 2 > 0, logo, |x + 2| = x + 2, então temos que:

x + 2 ≤ 7

x ≤ 7 – 2

x ≤ 5

2º caso: x + 2 < 0

se x + 2 < 0, logo |x + 2| = – (x + 2), então temos que:

– (x + 2) ≤ 7 → multiplicando por (-1)

x + 2 ≥ -7

x ≥ -7 -2

x ≥ -9

S = {x Є R| -9 ≤ x ≤ 5}

Atenção!

Deve ficar claro que qualquer número entre -9 e 5 é a solução para a inequação. Ao escolher alguns desses valores, faremos x=3. 

|x + 2| ≤ 7

|3 + 2| ≤ 7

|5| ≤ 7

5 ≤ 7

Observe que é uma desigualdade verdadeira uma vez que 5 é menor que 7. É possível perceber ainda que o número 6, por exemplo, não é uma solução de inequação. Confira abaixo x = 6.

|6 + 2| ≤ 7

|6 + 2| ≤ 7

|8| ≤ 7

8 ≤ 7 → absurdo, pois 8 > 7

Basicamente, significa que 6 não faz parte do conjunto de soluções da inequação. 

Exemplo 3

3 ≤ |x+1| < 7

Então, precisaremos dividir as inequações em duas: 

3 ≤ |x+1| → I

|x+1| < 7 → II

Iremos resolver cada uma delas separadamente. Em seguida analisaremos a intersecção das suas soluções.

Resolvendo I

3 ≤ |x + 1|

1º caso: |x + 1| > 0

|x + 1| = x + 1

3 ≤ x + 1

3 – 1 ≤ x

2 ≤ x

x ≥ 2

2º caso: |x + 1| < 0

|x + 1| = – (x + 1)

3 ≤ – (x + 1) · (-1)

-3 ≥ x + 1

-3 -1 ≥ x

– 4 ≥ x

x ≤ -4

SI = {x Є R| x > 2 ou x ≤ -4}

Resolvendo II

|x + 1| < 7

1º caso: |x + 1| > 0

|x + 1| = x + 1

x + 1< 7

x < 7 – 1

x < 6

2º caso: |x + 1| < 0

|x + 1| = – (x + 1)

– (x + 1) < 7 · (-1)

x + 1 > -7

x > -7 -1

x > -8

SII = {x Є R| -8 < x < 6}

A solução da inequação S pode ser representada da seguinte forma: 

S = {x Є R| -8 < x ≤ -4 ou 2 ≤ x < 6}

Gostou de saber mais sobre inequação modular? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!