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O que estuda a geometria analítica?

A área da matemática que estuda os elementos da geometria em um plano cartesiano recebe o nome de geometria analítica. No artigo a seguir explicaremos com mais detalhes os conceitos pertinentes a essa área. Vamos começar?

O que é geometria analítica?

Recebe o nome de geometria analítica a área da matemática focada na análise dos elementos da geometria em um plano cartesiano. Por sua vez, o plano cartesiano consiste em um plano de coordenadas que possui duas retas perpendiculares.

No plano cartesiano podemos apresentar elementos da geometria analítica tais como: retas, pontos, circunferências, entre outros. Nessa área ocorre o desenvolvimento de inúmeros conceitos importantes, possibilitando algebrizar os objetivos geométricos.

Em outras palavras, isso significa que podemos descrever os objetos geométricos através de equações como a equação da circunferência e equação da reta. Também há fórmulas que permitem identificar o ponto médio de um segmento, a distância entre dois pontos, entre outros. 

O que a geometria analítica estuda? 

A partir da geometria analítica se tornou possível unir a geometria com a álgebra. Diversos conceitos essenciais foram desenvolvidos e levaram à criação de uma área importante da matemática avançada, a análise. 

O desenvolvimento da geometria analítica acontece em um sistema de coordenadas chamado de plano cartesiano. Tomando esse plano por base, é possível representar pontos de forma geométrica e, assim, eles podem ser anexados a uma coordenada algébrica.

O avanço do conhecimento na área de geometria analítica possibilitou o cálculo da distância entre dois pontos situados em um plano cartesiano. Através da geometria analítica também se tornou possível o desenvolvimento de equações que descrevem o comportamento de retas, circunferências, entre outras figuras da geometria plana. 

A geometria analítica tem como base os conceitos da geometria euclidiana. São respeitadas todas as noções da geometria desenvolvidas na geometria plana. 

Principais conceitos da geometria analítica

O estudo da geometria analítica depende da compreensão do que é um plano cartesiano. Esse plano é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, isto é, eles formam um ângulo de 90°. Cada eixo possui uma reta numérica com todos os números reais. 

O eixo y é o eixo vertical, também chamado de eixo das ordenadas. Já o eixo x é o eixo horizontal, também chamado de eixo das abcissas. A representação de qualquer objeto no plano cartesiano permite a extração de informações algébricas do mesmo. A primeira informação, e também a mais simples, é o ponto.

No plano cartesiano, todo ponto pode ser representado por um par ordenado conforme a sua localização em relação a cada eixo. A geometria analítica foi desenvolvendo meios algébricos para o estudo de elementos que eram apenas geométricos, segundo a posição do elemento geométrico ou do seu comportamento. 

Fórmulas da geometria analítica

Confira abaixo as fórmulas da geometria analítica. 

Distância entre dois pontos

A geometria analítica é uma construção de conceitos que se desenvolveram no decorrer do tempo. O primeiro conceito relevante é o da distância entre dois pontos. Confira abaixo a fórmula que possibilita calcular essa distância. 

Com os pontos A1 e A2 do plano cartesiano dados é possível calcular a distância entre eles (dA1A2), para isso se utiliza a seguinte√√√ fórmula:

dA1A2 = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

A distância entre os dois pontos consiste no comprimento do segmento que liga ambos os pontos.

Confira o exemplo:

Com os pontos A(2,3) e B(5,1) dados, qual é a distância entre eles? 

dAB = √(5 – 2)2 + (1 – 3)2

dAB = √32 + 22

dAB = √9 + 4

dAB = √13

Ponto médio

Outra fórmula importante para a geometria analítica é a do cálculo do ponto médio de um segmento. O ponto M (xm, ym), que é o ponto médio do segmento A1 (x1, y1) e A2 (x2, y2), pode ser calculado com a seguinte fórmula: 

xm = x1+x22

ym = y1+y22

Essa fórmula consiste na média aritmética entre as abcissas e as ordenadas dos dois pontos. 

Confira o exemplo:

Qual é o ponto médio entre os pontos A(-2,5) e B(6,3)? 

xm = -2+62 = 42 = 2

ym = 5+32 = 82 = 4

Logo, o ponto médio é o ponto M(2,4)

Condição de alinhamento

Esse conceito permite verificar se três pontos — A1 (x1,y1), A2(x2,y2) e A3(x3,y3) — estão alinhados. Para essa verificação é necessário realizar o cálculo do determinante da seguinte matriz: 

D = x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1

Se o determinante for igual a 0 significa que os três pontos estão alinhados. Contudo, se não for igual a 0, então significa que os pontos não estão alinhados ou são vértices de um triângulo. 

Equação da reta

Na geometria analítica uma figura bastante estudada é a reta. Há duas possibilidades para a equação da reta. 

Equação geral da reta: ax + by + c = 0

Equação reduzida da reta: y = mx + n

Equação da circunferência

Outras equações relevantes na geometria analítica são as equações da circunferência que têm o centro definido pelo ponto O(xc,yc). As duas equações da circunferência são: 

Equação reduzida da circunferência: (x – xc)² + (y – yc)² = r²

Equação geral da circunferência: x² + y² – 2xcx – 2ycy + xc² + yc² – r² = 0

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