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Equação polinomial de 1º grau e 2º grau

A equação polinomial diferencia-se por ter um polinômio igual a zero. Também caracteriza-se pelo grau do polinômio, quanto maior for o seu grau mais complexa será sua resolução. Continue lendo para saber mais sobre as equações polinomiais de 1° e 2° grau. 

O que é uma equação polinomial?

A equação polinomial caracteriza-se por ter um polinômio igual a zero. Dessa forma toda expressão do tipo P(x) = 0 é uma equação polinomial. Nesse caso, P(x) é um polinômio. 

Confira abaixo o caso geral de uma equação polinomial, também apresentaremos alguns exemplos. Devemos considerar an, an-1, an-2, …, a1, a0 e x números reais, além de n ser um número inteiro positivo. Assim, a expressão a seguir é uma equação polinomial de grau n. 

P(x) = 0

anXn + an-1Xn-1 + an-2Xn-1 + … a3X3 + a2X3 + a2X2 + a1X + a0 = 0

Confira exemplos de equações polinomiais: 

• 3x4 + 4x2 – 1 = 0
• 6x – 1 = 0
• 5x2 – 3 = 0
• 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0

Da mesma forma que os polinômios, as equações polinomiais possuem seu grau. A determinação do grau de uma equação polinomial é feita através do encontro da maior potência que tenha coeficiente diferente de zero. Sendo assim, as equações dos itens anteriores são: 

• 3x4 + 4x2 – 1 = 0 – Equação do quarto grau. 
• 6x – 1 = 0 – Equação do primeiro grau. 
• 5x2 – 3 = 0 – Equação do segundo grau. 
• 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0 – Equação do terceiro grau. 

Resolvendo uma equação polinomial

A forma como resolvemos uma equação polinomial depende do seu grau. Ressaltamos que quanto maior o grau da equação polinomial maior será a complexidade para a sua resolução.

Neste artigo apresentaremos os métodos de resolução de equações polinomiais de primeiro e segundo graus. 

Equação polinomial do primeiro grau

A equação polinomial de primeiro grau é um polinômio de grau 1. Dessa forma podemos escrever uma equação do primeiro grau de uma forma geral. Devemos considerar dois números reais (a e b) sendo a ≠ 0. A equação em questão é escrita da seguinte forma: 

ax + b = 0

Como resolver a equação polinomial de primeiro grau?

A resolução dessa equação consiste no uso do princípio de equivalência. Basicamente, tudo que é operado de um lado da igualdade deverá ser operado do outro lado também. A solução da equação do primeiro grau deve ser iniciada com o isolamento da incógnita. 

Para fazermos isso é necessário eliminar o b do lado esquerdo da igualdade e na sequência subtrairmos b dos dois lados da igualdade. Confira abaixo como realizar esse processo: 

ax + b – b = 0 – b

ax = – b

Perceba que o valor da incógnita x ainda não está isolado. O coeficiente precisa ser eliminado do lado esquerdo da igualdade. Para isso é necessário fazer a divisão dos dois lados por a. 

ax = –b

/ax/a = -ba

x = -ba

Confira o exemplo a seguir, da resolução da equação 5x + 25 = 0.      

O problema deverá ser resolvido utilizando o princípio da equivalência. Para que esse processo seja facilitado é necessário omitir a escrita da operação do lado esquerdo da igualdade. Basicamente, iremos “passar” o número para o outro lado com a troca de sinal (operação inversa). 

5x + 25 = 0

5x = –25

x = -255

x = –5

Equação polinomial do segundo grau

A equação polinomial de segundo grau caracteriza-se por ter um polinômio de grau dois. Deveremos considerar a, b e c como sendo números reais sendo a ≠ 0. A equação de segundo grau é representada por: 

ax2 + bx + c = 0

Para resolver essa equação, é possível utilizar o método de Bhaskara ou ainda fazer fatoração. 

Método de Bhaskara

Nesse método, temos que as suas raízes são dadas pela fórmula abaixo: 

x=-bb2-4ac2a

Confira um exemplo:

Deveremos resolver a seguinte equação: x2 – 3x + 2 = 0.

Os coeficientes dessa equação são, respectivamente: 

• a = 1;
• b = – 3;
• c = 2. 

Confira a substituição desses valores na fórmula: 

∆ = (–3)2 – 4(1)(2)

∆ = 9 – 8

∆= 1

x=-(-3)12(1) 

x=312 

xI = 3+12 = 2

xII = 3-12 = 1

Fatoração

Confira como podemos fatorar a expressão x2 – 3x + 2 = 0 usando a fatoração de polinômios.

x2 – 3x + 2 = 0

(x – 2) · (x – 1) = 0    

Perceba que temos um produto igualado a zero e um produto que é igual a zero apenas se um dos fatores for igual a zero. Dessa forma temos que: 

x – 2 = 0

x = 2

ou

x – 1 = 0

x = 1

Percebeu que encontramos a solução da equação polinomial de segundo grau com dois métodos diferentes? Você pode utilizar esses dois métodos para a resolução desse tipo de questão. 

Gostou de saber mais sobre equação polinomial? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!