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Equação modular: saiba o que é e como resolver exercícios

Uma equação modular se caracteriza por apresentar termos em módulo no primeiro ou segundo membro. A resolução de problemas desse tipo de equação demanda a aplicação da definição de módulo. Continue lendo para saber mais. 

O que é equação modular?

Recebe o nome de equação modular, uma equação que apresenta termos em módulo no primeiro ou segundo membro. O módulo pode ser chamado também de valor absoluto e está relacionado à distância que um número tem até o zero. Pelo fato de estarmos falando sobre distância, o módulo de um número é sempre positivo.

Para resolver problemas com equação modular é necessário aplicar a definição de módulo. Normalmente, a equação é dividida em dois casos possíveis: 

• O que está dentro do módulo é positivo. 
• O que está dentro do módulo é negativo. 

Módulo de um número real

Confira a seguir a definição de módulo:

• O módulo é sempre igual à distância de um número até o zero.
• A representação do módulo de um número n é feita através da barra reta, fica dessa forma: |n|. 

Como citamos acima, o cálculo do |n| pode ser dividido em dois casos: 

• n → n 0
• n → n < 0

Dessa forma, podemos dizer que |n| é igual ao próprio n, nos casos em que é um número positivo ou igual a zero. Por sua vez, no segundo caso, |n| é igual ao oposto de n, caso ele seja negativo. Logo, n apresenta sempre um resultado igual a um número positivo. 

Confira exemplos: 

• |2| = 2
• |-1| = -(-1) = 1
• |x + 1| = {x+1, se x+1≥0 – x+1, se x+1<0

Como resolver uma equação modular

Para resolver uma equação modular é importante analisar cada uma das possibilidades, isto é, dividir nos dois casos, cada um dos módulos. Fica o adendo de que é importante saber resolver equações polinomiais para resolver esse tipo de equação. Confira os exemplos. 

Primeiro exemplo: 

|x – 3| = 5

Para resolver essa equação devemos nos lembrar de que existem dois resultados possíveis que levam a |n| = 5, confira a seguir:

• n = -5, uma vez que |-5| = 5.
• n = 5, pois |5| = 5. 

Dessa forma, usando essa mesma ideia teremos que: 

• I → x – 3 = 5 ou
• II → x – 3 = -5

Veja abaixo como resolver cada uma das equações separadamente: 

Resolução 1:

x – 3 = 5

x = 5 + 3

x = 8

Resolução 2:

x – 3 = -5

x = -5 + 3

x = -2

Essa resolução nos faz chegar a conclusão de que existem duas soluções: S = {-2, 8}.

Observe que, se x = 8 essa equação é verdadeira uma vez que: 

|x – 3| = 5

|8 – 3| = 5

|5| = 5

A equação também é verdadeira se x = -2, pois: 

|-2 – 3| = 5

|-5| = 5

Segundo exemplo: 

|2x + 3| = 5

Nesse exemplo, também devemos dividir em dois casos, seguindo a definição de módulo. 

• I → 2x + 3 = 5
• II → 2x + 3 = -5

Resolução 1:

2x + 3 = 5

2x = 5 – 3

2x = 2

x = 2/2

x = 1

Resolução 2: 

2x + 3 = -5

2x = -5 – 3

2x = -8

x = -8/2

x = -4

Isso nos leva a resposta de que o conjunto de soluções é: S = {1, -4}.

Terceiro exemplo:

|x + 3| = |2x – 1|

Se tivermos a igualdade de dois módulos, será necessário dividi-los em dois casos: 

• 1º caso, o primeiro e o segundo membro apresentam o mesmo sinal.
• 2º caso, o primeiro e o segundo membro tem sinais opostos.

Resolução 1:

Nesse caso, iremos fazer com os dois lados maiores que zero, isto é, iremos apenas tirar o módulo. Também é possível fazer com os dois módulos negativos. Nos dois casos chegaremos ao mesmo resultado. 

• X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
• 2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x – 1

x + 3 = 2x – 1

x – 2x = -1 – 3

x = -4 (-1)

x = 4

Resolução 2:

Com os dois lados tendo sinais opostos, escolheremos um lado para ser o positivo e o outro o negativo. 

Escolhendo:

• |x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
• |2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)

Teremos: 

x + 3 = – (2x – 1)

x + 3 = – 2x + 1

x + 2x = – 3 + 1

3x = -2

x = -2/3

Assim, o conjunto de soluções é: S = {4, -2/3}.

Viu, como é bem mais fácil do que parece resolver equação modular? Recomendamos que você pratique resolvendo alguns exercícios de provas do Enem e vestibulares.

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