Blog

Entenda como resolver equações exponenciais

As equações exponenciais se caracterizam por ter a incógnita situada no expoente e ter um número real positivo, diferente de 1, como base. No artigo a seguir iremos explicar como resolver esse tipo de equação. Vamos começar?

O que são equações exponenciais? 

Uma expressão algébrica é considerada uma equação quando apresenta pelo menos uma incógnita e uma igualdade. No caso da equação exponencial, a incógnita deve estar em um expoente e as bases devem ser números reais positivos diferentes de 1. Isso significa que as equações exponenciais devem ser da seguinte forma:

ax = b

Observe que a e b são números reais e x precisa ser positivo e diferente de 1. 

Conheça as propriedades das equações exponenciais 

A resolução das equações exponenciais depende da obtenção de potências de mesma base. Então para tornar o processo mais simples é essencial relembrar algumas propriedades da potenciação, confira abaixo. 

Multiplicação de potências de mesma base 

A base é repetida e os expoentes são somados. 

am . an = a(m + n)

Divisão de potências de mesma base

Nesse caso, a base é repetida e os expoentes são subtraídos. 

am : an = a(m – n)

Potência de potência

A base é repetida e os expoentes são multiplicados. 

(am)n = am – n

Potência do produto

A potência do produto é equivalente ao produto das potências. 

(a . b)m = am . an

Potência do quociente

A potência do quociente é equivalente ao produto das potências. 

abm = amam

Potência negativa

A base deve ser invertida e o expoente se torna positivo, o denominador deve ser diferente de zero. 

a-n = 1an

Potência fracionária

Se o expoente é uma fração, então a operação pode ser escrita na forma de radical. Dessa forma, o denominador se torna o índice do radical e o numerador do expoente se torna o expoente do radicando. 

anm = nam

Igualdade de potências de mesma base

Quando duas potências tem a mesma base e são iguais isso faz com que os seus expoentes também sejam iguais. 

ax = ay

Até aqui apresentamos as principais propriedades da potenciação que nos ajudarão a resolver as equações exponenciais daqui adiante. 

Como resolver equações exponenciais

A resolução de uma equação se baseia em descobrir o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira, isto é, que satisfaz a equação. As equações exponenciais tem a incógnita no expoente, por isso é importante conhecer as propriedades de potenciação. 

Para iniciar a resolução de uma equação exponencial é necessário organizar a expressão algébrica de forma a obter uma igualdade de potências com a mesma base. 

5x = 125

Nesse exemplo, é simples chegar a conclusão de que 125 é equivalente a 53. Confira o processo abaixo:

5x = 53

x = 3

Tomando por base uma das propriedades da potenciação chegamos a conclusão de que x = 3. Isso significa que 5x = 53, ou seja, x = 3. 

Exemplos de equações exponenciais resolvidas

A seguir você poderá conferir alguns exemplos de equações exponenciais resolvidas para entender melhor o processo. 

Encontre a raiz da equação 1x6 = 36

Resolução:

1x6 = 36

(6-1)x = 62

6-x = 62

Observe que a base é positiva e diferente de 1, então temos que:

-x = 2

x = -2

Logo, o conjunto solução é S = -2

Encontre a raiz de 4x-2 = 16x+1

Resolução:

4x-2 = 16x+1

4x-2 = (42)x+1

4x-2 = 42x+2

A base é positiva e diferente de 1, então temos que:

x – 2 = 2x + 2

x = -4

O conjunto solução é S = -4

Definição de logaritmo 

Para explicar logaritmo usaremos o seguinte exemplo:

10x = 3

Percebe que nesse caso não é possível escrever os dois lados da igualdade como potências de mesma base? Para resolver essa questão precisaremos usar uma ferramenta essencial para a área da matemática, o logaritmo. Esse recurso é utilizado em diversos campos da ciência como a química, a computação e a geografia.

John Napier foi o pioneiro nos estudos a respeito de logaritmos. Foi ele quem desenvolveu uma operação que possibilitou transformar produtos em soma, potências em multiplicações e divisões em subtrações. 

Então, se a >0 e a 1, temos que:

ax = b ↔ loga b = x

Sendo assim, temos:

10x = 3 ↔ log10 3 = x

A partir da consulta de uma tabela de logaritmos ou então usando uma calculadora chegamos a solução de x 0,477.

Pratique!

Para aprender a como resolver equações exponenciais é importante praticar. Então vale a pena pesquisar exercícios que tenham aparecido em provas anteriores do Enem e vestibulares. Resolver essas questões ajudará na compreensão desse conteúdo e também a entender como o tema é cobrado nesse contexto. 

Gostou de saber mais sobre equações exponenciais? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!