O Teorema de Pitágoras consiste em uma relação matemática essencial para o cálculo das medidas de um triângulo retângulo. Basicamente, esse teorema define que: “o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado da medida dos catetos”.
No artigo a seguir explicaremos com mais detalhes esse conteúdo, que é um dos mais recorrentes nas provas de matemática do Enem e vestibulares. Fica a dica de que é bem mais simples do que parece!
Resumidamente, o teorema de Pitágoras define a relação matemática existente entre os lados de um triângulo retângulo. A base desse teorema está na compreensão de que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Esse teorema tem grande relevância para a Matemática e influenciou uma série de outros avanços dessa área.
O teorema de Pitágoras é aplicado somente a triângulos retângulos. Recebem esse nome os triângulos que têm um ângulo reto, isto é, um ângulo de 90°, aquele formado pelo encontro de duas setas perpendiculares. Logo, somente será possível aplicar esse teorema se o triângulo em questão for um triângulo retângulo.
Uma dica é a de que uma das retas deve ficar totalmente tangenciada ao chão. Caso seja necessário, rotacione a imagem do triângulo mentalmente. A reta perpendicular deve conseguir encostar perfeitamente no chão imaginário.
Para compreender a fórmula do teorema de Pitágoras é essencial conhecer as nomenclaturas atribuídas aos lados de um triângulo retângulo. O maior ângulo em um triângulo retângulo é o de 90°.
O lado oposto a esse ângulo de 90° é também o maior lado do triângulo. Esse lado é chamado de hipotenusa e, no exemplo abaixo, é representado pela letra “a”. Os outros dois lados do triângulo são chamados de catetos e nesse exemplo são representados pelas letras “b” e “c”.
De acordo com o teorema de Pitágoras, a seguinte afirmação é válida:
a2 = b2 + c2
Logo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Viu como é simples compreender o que o teorema diz? A fórmula traduz exatamente o que esse teorema diz.
Para compreender melhor como funciona o teorema de Pitágoras, que tal conferir uma demonstração? Nossa demonstração terá como base o quadrado ABCD abaixo que tem um lado medindo (b + c).
O primeiro passo para a resolução é determinar a área do quadrado ABCD.
AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2
O passo seguinte é a determinação da área do quadrado EFGH.
AEFGH = a2
A partir dessa demonstração, podemos concluir que há quatro triângulos congruentes:
AEH ≡ BEF ≡ CFG ≡ DGH
Seguimos, então, para o terceiro passo, que consiste no cálculo da área desses triângulos:
ATriângulo = Triângulo = b·c / 2
Por fim, chegamos ao quarto e último passo que diz respeito ao cálculo da área do quadrado EFGH usando a área do quadrado ABCD. Observe que se consideramos somente a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos (lembrando que são as mesmas) sobrará somente o quadrado EFGH, temos então:
AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo
Através da substituição dos valores obtidos no primeiro, segundo e terceiro passo teremos:
a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc / 2
a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc
a2 = b2 + c2
Recebe o nome de triângulo pitagórico qualquer triângulo retângulo cuja medida de seus lados esteja de acordo com o teorema de Pitágoras. Confira os exemplos a seguir de triângulos pitagóricos:
Esse triângulo é um triângulo pitagórico porque:
52 = 32 + 42
A seguir vamos apresentar o exemplo de um triângulo que NÃO é pitagórico:
Nesse triângulo, temos que:
262 ≠ 242 +72
O desenvolvimento do teorema de Pitágoras levou a uma descoberta significativa. A construção de um triângulo retângulo cujos catetos são iguais a 1 levou os matemáticos da época a se depararem com um desafio considerável. Ao chegar ao valor da hipotenusa, eles se viram diante de um número até então desconhecido:
Ao aplicar o teorema de Pitágoras chegamos a:
x2 = 12 + 12 x2 = 2 x = √2
Os matemáticos da época encontraram um número que hoje em dia é chamado de número irracional. Os números irracionais são aqueles com representação decimal que consiste em uma dízima não periódica. Nessa categoria estão as raízes não exatas, o , entre outros. Durante um bom tempo esses números geraram inquietação e curiosidade entre os matemáticos.
Agora você já sabe o que é e como funciona o Teorema de Pitágoras!